幾何競賽題的特殊解法

來源:育路教育網發布時間:2011-07-26 15:17:20

大家都在關注：19年7月國際學校開放日全國優質國際高中國際初中國際小學推薦

幾何形體知識是小學數學的重要內容，對常規的幾何題學生比較容易解答，
但是對有一定難度的競賽題，指導學生解題時，要引導學生認真地觀察圖形的形
狀、位置，抓住圖形的主要特征，選擇適當的方法進行分析，思考，從而找出解
決問題的途徑。

一、等量代換法

例1 如圖1 ，已知三角形ABC 的面積為56平方厘米，是平行四邊形DEFC的2
倍。求陰影部分的面積。

分析從所給的條件來看，不知道△ADE 任何一條邊及其所對應的高，因此很
難直接求出△ADE 的面積。只能從已知面積的部分與所求圖形面積之間的關系來
著手分析。由題意可知四邊形DEFC為平行四邊形，所以連接E 、C 點，△DEC 的
面積為平行四邊形面積的一半。根據同底等高的三角形面積相等，可知△AED 與
△DEC 的面積相等，而△DEC 的面積等于平行四邊形面積的一半，因此，△ADE
的面積也等于平行四邊形面積的一半。問題即可解決。

列式：56÷2 ÷2=14（平方厘米）

二、轉化法

例2 如圖2 ，四邊形ABCD為長方形，BC=15 厘米，CD=8厘米，三角形AFB 的
面積比三角形DEF 的面積大30平方厘米，求DE的長。

（第三屆小學生數學報競賽決賽題）

分析把三角形ABF 和三角形DEF 分別加上四邊形BCDF，那么它們分別轉化成
長方形ABCD和三角形BCE.根據三角形ABF 比三角形DEF 的面積大30平方厘米，把
它們分別加上四邊形BCDF后，即轉化成長方形ABCD比三角形BCF 的面積大30平方
厘米。先求出三角形BCE 的面積，根據三角形的面積和BC的長度，求出CE的長度，
DE的長度即可求出。列式：（15×8-30）×2 ÷15-8=4（平方厘米）

三、假設法

例3 圖3 中長方形的面積為35平方厘米，左邊直角三角形的面積為5 平方厘
米，右上角三角形的面積為7 平方厘米，那么中間三角形（陰影部分）的面積是
____平方厘米。

（1996年小學數學奧林匹克競賽初賽B 卷題）

分析因為長方形的面積為35平方厘米，不妨假設AB=5厘米，AD=7厘米，因為
S △ABE=5 平方厘米，所以BE=5×2 ÷5=2 厘米，EC=7-2=5厘米，同理：DF=7×
2 ÷5=2 厘米，CF=5-2=3厘米，那么S △ECF=5 ×3 ÷2=7.5 厘米，陰影部分面
積即可求出。列式：35- （7+5+7.5 ）=15.5 （平方厘米）

四、巧用性質

例4 如圖4 ，三角形ABC 是直角三角形，已知陰影（Ⅰ）的面積比陰影（Ⅱ）

的面積小23平方厘米，BC的長度是多少？（π=3.14 ）

（北京市第三屆迎春杯數學競賽試題）

分析此題初看似乎無法解答，因為陰影部分（Ⅰ）、（Ⅱ）都是不規則圖形，
但仔細觀察，不難看出，陰影（Ⅰ）是半圓的一部分，陰影（Ⅱ）是三角形ABC
的一部分，根據“差不變的性質”可以把（Ⅰ）和（Ⅱ）分別加（Ⅲ），分別得
到半圓和△ABC ，它們的面積差不變，這樣就可以求出三角

2 ÷20=18 （厘米）

五、參數法

例5 將圖5 （a ）中的三角形紙片沿著虛線折疊的粗實圖形面積（圖b ）與
原三角形的面積比為2 ∶3 ，已知圖（b ）中三個畫陰影的三角形面積之和為1 ，
那么重疊部分的面積為______.

（1988年北京市小學數學邀請賽復賽題）

分析圖b 中重疊部分是不規則的四邊形，很難直接求出它的面積。從圖b 中
可以觀察陰影部分面積加上空白部分面積的2 倍等于原三角形的面積，實線部分
的面積應為空白部分面積加上1 ，根據這一等量關系可以列方程。設空白部分面
積為x ，（x+1 ）∶（2x+1）=2∶3 ，x=1.

六、用比例解

例6 如圖6 ，四邊形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四部分，已知BE=60
厘米，CE=40 厘米，DE=30 厘米，AE=80 厘米。問丙、丁兩個三角形的面積之和
是甲、乙兩個三角形的面積之和多少倍？（第三屆華羅庚金杯賽決賽題）