63. 變幻無窮的彩燈

    少年宮游樂廳內懸掛著200 個彩色燈泡，這些燈或亮或暗，變幻無窮。

    200 個燈泡按1 ～200 編號。燈泡的亮暗規則是：第1 秒，全部燈泡變亮；
第2 秒，凡編號為2 的倍數的燈泡由亮變暗；第3 秒，凡編號為3 的倍數的燈泡
改變原來的亮暗狀態（即亮的變暗，暗的變亮）；第4 秒，凡編號為4 的倍數的
燈泡改變原來亮暗狀態。這樣繼續下去，……200 秒為一周期。當第200 秒時，
哪些燈是亮著的？

    分析與解

    在解答這個問題時，我們要用到這樣一個知識：任何一個非平方數，它的全
體約數的個數是偶數；任何一個平方數，它的全體約數的個數是奇數。例如，6
和18都是非平方數，6 的約數有：1 、2 、3 、6 ，共4 個；18的約數有1 、2 、
3 、6 、9 、18，共6 個。它們的約數的個數都是偶數。又例如，16和25都是平
方數，16的約數有：1 、2 、4 、8 、16，共5 個；25的約數有1 、5 、25，共
3 個。它們的約數的個數都是奇數。

    回到本題。本題中，最初這些燈泡都是暗的。第一秒，所有燈都變亮了；第
2 秒，編號為2 的倍數（即偶數）的燈由亮變暗；第3 秒，編號為3 的倍數的燈
改變原來的亮暗狀態，就是說，3 號燈由亮變暗，可是6 號燈則由暗變亮，而9
號燈卻由亮變暗……。這樣推下去，很難理出個頭緒來。

    正確的解題思路應該是這樣的：凡是亮暗變化是偶數次的燈，一定回到最初
狀態，即是暗著的。只有亮暗變化是奇數次的燈，才是亮著的。因此，只要考慮
從第1 秒到第200 秒這段時間，每盞燈變化次數的奇偶性就可判斷燈的亮暗狀態。

    一個號碼為a 的燈，如果有7 個約數，那么它的亮暗變化就是7 次，所以每
盞燈在第200 秒時是亮還是暗決定于每盞燈的編號的約數是奇數還是偶數。我們
已知道，只有平方數的全部約數的個數是奇數。這樣1 ～200 之間，只有1 、4 、
9 、16、25、36、49、64、81、100 、121 、144 、169 、196 這14個數為平方
數，因而這些號碼的燈是亮著的，而其余各盞燈則都是暗著的。

    用奇偶性分析解題，是我們經常用的一種解題方法，既靈活又有趣。