一、填空題1.找規律，填得數。

    22=2×2=12×4=4 ；222=22×22=112×4=484 ；2222=222×222=1112×4=49284
；………………

    2222222222= （）2 ×____ =___________ ×____ =_________________.

    2.圖中第1 格內放著一個立方體木塊，木塊六個面上分別寫著六個字母，其
中與與與相對。如果將木塊沿著圖中方格滾動，當木塊滾動到第21個格時，木塊
向上的面寫的字母是______.

    3.下面是三行按不同規律排列的，那么當 =32時， + =______.

    2 4 6 8 10  ……

    1 5 9 13 17 ……

    2 5 10 17 26  ……

    4.如圖所示，在左上角（第一行第一列）的位置上畫上第1 個點，然后按箭
頭方向依次畫上第2 ，3 ，4 ，…個點。那么，第1999個點在第______行第______
幾列。

    5.有一張黑白相間的相間的方格紙，用記號（2 ，3 ）表示從上往下數第2
行，從左往右數第3 列的這一格（如圖），那么（19，98）這一格是______色。

    6.如圖所示，在正六邊形周圍畫出6 個同樣的正六邊形（陰影部分），圍成
第1 圈；在第1 圈外面再畫出12個同樣的正六邊形，圍成第2 圈；……。按這個
方法繼續畫下去，當畫完第9 圈時，圖中共有______個與A 相同的正六邊形。

    7.下面是按規律列的三角形數陣：1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10
10 5 1………………

    那么第1999行中左起第三個數是______.

    8.將數1 到30排成五列按下表的格式排下去，300 是在______列。

    1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22
26 * * * * * * *

    9.如圖是一個大表的一部分，表中將自然數按從小到大的順序排成螺旋形，
在2 處拐第一個彎，在3 處拐第二個彎，在5 處拐第三個彎，……，那么第18個
拐彎的地方是______. 43 44 45 46 47 48 49 50 42 21 22 23 24 25 26 51 41 20 7 8 9 10 27 52
40 19 6 1 2 11 28 53 39 18 5 4 3 12 29 54 38 17 16 15 14 13 30 55 37 36 35 34 33 32 31 56
64 63 62 61 60 59 58 57

    10. 一個人從中央（標有0 ）的位置出發，向東、向北各走1 千米，再向西、
向南各走2 千米，再向東、向北走3 千米，向西、向南各走4 千米，……，如此
繼續下去。他每走1 千米，就把所走的路程累計數標出（如圖），當他走到距中
央正東100 千米處時，他共走了______千米。

    4 3 2

    5 0 1 東

    6 7 8 9

    二、解答題11. 將自然數1 ，2 ，3 ，4 …按箭頭所指方向順序排列（如圖），
依次在2 ，3 ，5 ，7 ，10…等數的位置處拐彎。

    （1 ）如果2 算作第一次拐彎處，那么第45次拐彎的數是什么？

    （2 ）從1978到2010的自然數中，恰好在拐彎處的數是什么？

    12. 下圖是一張把自然數按一定順序排列的數表，用一個有五個空格的十字
可以框出不同的五個數字，現在框出的五個數字的四個角上的數字之和是80，如
果當框出的五個數字的和是500 時，四個角上數字的和是多少？

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28

    13. 如圖，在一張方格紙上畫折線（用實線表示的部分），圖中每個小方格
的邊長為1 ，從A 點出發依次給每條直線段編號。

    （1 ）編號1994的直線段長是多少？

    （2 ）長度為1994的直線段的編號是多少？

    14. 把1 到1997這1997個數，按順時針方向依次排列在一個圓圈上（如圖）。
從1 開始按順時針方向，保留1 ，擦去2 ；保留3 ，擦去4 ；……（每隔一個數，
擦去一個數）轉圈擦下去，最后剩的是哪個數？

---------------答 案----------------------

    答案1. 111111111，4 ； 12345678987654321，4 ； 49382715950617284.
根據已知等式的觀察和分析，可知算式演變規律有兩種形式：其一是等積恒變；
其二是11×11=121，111 ×111=12321 ，……。

    2222=222×222=1112×4=49284 ；2222222222=1111111112 ×4 =12345678987654321
×4 =49382715950617284.

    2. A木塊沿直線滾動4 格，與原來的狀態相同，所以木塊到第5 ，9 ，13，
21格時，與在第1 格的狀態相同，寫的字母是A.

    3. 318由數表可知A 和B 都是等差數列，根據等差數列的通項公式進行解答。

    當 32 時， =（32-2）× +1=16；當 =16時， =1+（16-1）×4=61. 再由數
表可知C 數列的相鄰兩項的差值3 ，5 ，7 ，9 ，11，…，31組成等差數列，根
據等差數列求和公式（）××進行解答。

    這15個差值的和是（3+31）×15× =255 ，則當 =16時， =2+255=257.因此，
=61+257=318.

    4. 27 ，45. 正長形網格內的所有格點數之和必是平方數，如2 ×2 方格網
中共有格點32=9（個），3 ×3 方格網中共有格點42=16 （個）。

    因為1999=442+63=452-26，所以第1999個點必在第45行或第45列上。因為第
452 點在第1 行第45列上，而1999=452-26 ，從第1 行倒退26行，所以第1999個
點在第27行第45列上。

    5.白觀察歸納得：" 行數+ 列數= 奇數" 時為白色，" 行數+ 列數= 偶數"
時為黑色。

    而19+98 為奇數，因此（19-98 ）這一格是白色。

    6. 271提示：第幾圈有6 個正六邊形，所以共有1+6 ×（1+2+…+9）=271
（個）。

    7. 1995003第三行左起第三個數是1=1 ；第四行左起第三個數是3=1+2 ；第
五行左起第三個數是6=1+2+3 ；第六邊左起第三個數是10=1+2+3+4；……

    歸納可知，第1999行左起第三個數是1+2+3+…+1997= =1995003.

    8. D根據表中所列數據可以看出，除1 以外，圖中的連續自然數按8 個數為
一個周期如表格所示的規律排列，300=1+（37×8+3 ），余數為3 ，所以300 是
在列。

    2 3 4 5 9 8 7 6

    9. 91 觀察拐彎處的數的規律，可得第個拐彎處的數：當為奇數時為 1+
（1+3+5+…+ ）；當為偶數時為 1+2×（1+2+3+…+ ）。

    將 =18代入，得91.

    10. 39700 觀察右下角拐彎處的數的規律：第1 個拐彎處為1=12= （2 ×1-1
）2；第2 個拐彎處為9=32= （2 ×2-1 ）2 ；第3 個拐彎處為25=52=（2 ×3-1
）2；……。因此第個拐彎處的數為（2 -1）2.距中央正東100 千米處為他走到右
下角的第100 個拐點處再向北99千米處，故他共走了（2 ×100-1 ）2+99=39700
（千米）。

    11. 觀察拐彎處的數的規律，可以得到個拐彎處的數，當為奇數時為1+（1+3+5+
…+ ）= （）2+1 ；當為偶數時為1+2 ×（1+2+3+…+ ）= （1+）× +1.（1 ）
第45次拐彎處的數是（）2+1=530.（2 ）試算 =89時，拐彎處的數是（）2+1=2026
；=88 時，拐彎處的數是（1+）× +1=1981；=87 時，拐彎處的數是（）2+1=1937
；所以1978~2010 中，恰在拐彎處的數是1981.

    12. 仔細觀察十字框中的五個數里，中間一個是這五個數的平均值，也是其
余四個數的平均值，所以中間一個數可由500 ÷5=100 得到，且即得四個角上數
字這和為100 ×4=400.

    13. 通過觀察列出編號與長度的關系表：編號  （1 ）（2 ）  （3 ）（4 ）
  （5 ）（6 ）  （7 ）（8 ）  （9 ）（10）  ……

    長度 1 2 3 4 5  ……

    從表中看出：長度為的線段編號為2 -1和2 . （1 ）編號為1994的線段長為
：1994÷2=997.（2 ）長度為1994的線段有兩條，編號分別為：1994×2-1=3987
；1994×2=3988.

    14. 如果依照題意在上圖中進行操作，直到剩下一個數為止，實在是很困難
的。我們還應從最簡單的情況入手分析，歸納出解決問題的規律，再用此規律解
題。

    如果是2 個數1 ，2 ，最后剩下1 ；如果是3 個數1 ，2 ，3 ，最后剩下3
；如果是4 個數1 ，2 ，3 ，4 ，最后剩下1 ；如果是5 個數1 ，2 ，3 ，4 ，
5 ，最后剩下3 ；如果是6 個數1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，最后剩下5 ；如果是
1-7 ，7 個數，最后剩下7 ；如果是1-8 ，8 個數，最后剩下1.我們發現當數的
個數是2 ，4 ，8 時，最后剩下的都是1.實際上，當數的個數為時（），當擦完
一圈后還剩個數，把問題化成個數的情況。不斷作下去，最后化為2 個數的情況，
顯然最后剩下的數為1.注意，1 為起始數。

    由于210=1024，211=2048， 210<1997<211 ， 1997-1024=973. 這就是說，
要剩210 個數，需要先擦去973 個數。按題意，每兩個數擦去一個數，當擦第973
個數時，最后擦去的數是：973 ×2=1946. 下一個起始數是1947，所以，最后剩
下的數應是1947.