中國科學院研究生院碩士研究生入學考試

　　高等數學(丙)考試大綱

　　一、 考 試 性 質

　　中國科學院研究生院碩士研究生入學高等數學(丙)考試是為招收理學非數學專業碩士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數學素質，包括對高等數學各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。考試對象為參加全國碩士研究生入學考試、并報考化學、生態學等專業的考生。

　　二、考試的基本要求

　　要求考生系統地理解高等數學的基本概念和基本理論，掌握高等數學的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

　　三、考試方法和考試時間

　　高等數學(丙)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

　　四、考試內容和考試要求

　　(一)函數、極限、連續

　　考試內容

　　函數的概念及表示法 函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 復合函數、反函數、分段函數和隱函數 基本初等函數的性質及其圖形

　　數列極限與函數極限的概念 無窮小和無窮大的概念及其關系 無窮小的性質及無窮小的比較 極限的四則運

　　函數連續的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續性 閉區間上連續函數的性質

　　考試要求

　　1. 理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。

　　2. 理解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數這些性質的方法。

　　3. 理解復合函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。會求給定函數的復合函數和反函數。

　　4. 掌握基本初等函數的性質及其圖形。

　　5. 理解極限的概念(包括數列極限和函數極限)，理解函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。

　　6. 掌握極限的性質及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計算。

　　7. 掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

　　8. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

　　9. 理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型。

　　10. 掌握連續函數的運算性質和初等函數的連續性，熟悉閉區間上連續函數的性質(有界性、比較大值和比較小值定理、介值定理等)，并會應用這些性質。

　　(二)一元函數微分學

　　考試內容

　　導數的概念 導數的幾何意義和物理意義 函數的可導性與連續性之間的關系 平面曲線的切線和法線 基本初等函數的導數 導數的四則運算 復合函數、反函數、隱函數的導數的求法 參數方程所確定的函數的求導方法 高階導數的概念 高階導數的求法 微分的概念和微分的幾何意義 函數可微與可導的關系 微分的運算法則及函數微分的求法 一階微分形式的不變性 微分在近似計算中的應用 微分中值定理 洛必達(L’Hospital)法則 泰勒(Taylor)公式 函數的極值 函數比較大值和比較小值 函數單調性 函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數圖形的描繪

　　考試要求

　　1. 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，掌握函數的可導性與連續性之間的關系。

　　2. 掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本的求導方法。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

　　3. 了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

　　4. 會求分段函數的一階、二階導數。

　　5. 會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數

　　6. 會求反函數的導數。

　　7. 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理，掌握這四個定理的簡單應用。

　　8. 理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數比較大值和比較小值的求法及其簡單應用。

　　9. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直漸近線，會描繪函數的圖形。

　　10. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

　　(三)一元函數積分學

　　考試內容

　　原函數和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和基本性質 定積分中值定理 變上限定積分定義的函數及其導數 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分 廣義積分(無窮限積分、瑕積分) 定積分的應用

　　考試要求

　　1. 理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。

　　2. 熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理。掌握牛頓-萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。

　　3. 會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。

　　4. 理解變上限定積分定義的函數，會求它的導數。

　　5. 理解廣義積分(無窮限積分、瑕積分)的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會計算一些簡單的廣義積分。

　　6. 會利用定積分計算平面圖形的面積.旋轉體的體積和函數的平均值。